Logaritmo Natural

Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é  um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

Ln(x) = log_ex

Portanto, algumas conseqüências de sua definição podem ser representadas:

• Ln 1 = 0
• Ln e =  1
• Ln e ⁿ = n

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.

1. Logaritmo natural de um produto

• ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

• (Ln x) / (ln y) = ln x – ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

• ln x ⁿ = x

Muitos exercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidas a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos;

Iremos transformar a base “e” para a base decimal (10)

Demonstração:

Ln x = log_ex

Fazendo a mudança de base para a base decimal

Log_ex= Log₁₀x / log₁₀e

Resolvendo

Log_ex =Log₁₀x /0,434

“Desmembrando”

Log_ex= 1 /0,434 . Log₁₀x

Log_ex = 2,31 Log₁₀x ( Obs: Valor aproximado, uma vez que o valor de” log₁₀e”foi truncado)

Agora vejamos algumas aplicações em exercícios sobre o conceitos descritos acima.

Exemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8).

Resolução

Ln8= Log_e8 = 2,31 log₁₀8 = 2,31 x 0,90= 2,1.

Exemplo 2) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18.

Resolução

Aplicando a regra do produto

Ln 18= Ln(3 . 6)= Ln 3+ Ln6 = 2,9

Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a  um logaritmo na qual sua base é denotada por “a”, onde se segue;

10⁷ . log _a (x/10⁷)

a= (1-10^-7)^{10^7} = lim_n->∞(1-1/n)ⁿ= 1/e

10⁷ .log_1/e (x/10⁷)

Logo, percebe-se que o logaritmo neperiano refere-se a base ”1/e”.