Torre de Hanói

TORRE DE HANÓI - (4 DISCOS)

Fórmula para determinar o número mínimo de movimentos que se deve fazer de acordo com a quantidade de discos do jogo Torre de Hanói.

A_x+2=2^(x+2)-3 * 7+2^(x+2)-3-1

X= conjunto dos números naturais não-nulos

X= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

Explicação da fórmula:

Nº de Discos	Nº de movimentos
3	7
4	15
5	31
6	63
7	127
8	255
9	511
10	1023
11	2047
12	4095
13	8191
14	16383
15	32767

O incremento da seqüência da 2ª coluna é:

(Nº de movimentos)*2+1

Ex: 7*2+1=15

      (7*2+1)*2+1=(15)*2+1=31

      [(7*2+1)*2+1]*2+1=(31)*2+1=63

    {[(7*2+1)*2+1]*2+1}*2+1=   (63)*2+1=127 

se n=7,logo:1n+0=2⁰n+0=n

15- n*2+1=2n+1=2¹n+2¹-1

31-(2n+1)*2+1=4n+3=2²n+2²-1

63-(4n+3)*2+1=8n+7=2³n+2³-1

127-(8n+7)*2+1=16n+15=2⁴n+2⁴-1

Os números que estão sendo multiplicado por n (em azul) formam uma P.G. em que o primeiro termo é 1 e a razão é 2.

No 3º disco a quantidade de movimentos é n  ,neste caso o número que está multiplicando  n é 1 e o número que está sendo adicionado a n é zero. Portanto:

2^{(número de discos)-3}*n+2^{(número de discos)-3}-1=n , sendo que n=7.Substituindo número de discos por x obtemos:

2^x-3*7+2^x-3-1

Para representarmos o número de discos igualamos a fórmula acima   a  A_x . Logo:

A_x=2^x-3*7+2^x-3-1

Para podermos substituir x por qualquer número natural não-nulo devemos igualar x a x+2.

A_x+2=2^(x+2)-3*7+2^(x+2)-3-1