I N F O R N A T U S: Equação

"equação de Mathieu"

Em matemática, uma equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas.

São exemplos de equações as seguintes igualdades:

$x + 8 = 15$

$x^3 - 9x^2 - 7 = 4$

$3sen(x) + 25cos(x) = 18$

$3x^4 - x^3 + 5x^2 - 34x + 1211 = 0$

$tg(3y-25) + sen^3(cos(y^2 +4y -1))= 255$

Nesses exemplos, as letras $x$ e $y$ são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir.

A equação $x+8 = 15$ pode ser interpretada como uma pergunta: "qual o número que somado com 8 dá 15?". Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de $x$ nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado $x = 7$ .

Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é $m = 6$ ; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é $y=6$ .

Uma solução da equação também é chamada raiz da equação.

Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de $x$ , como nos exemplos:

$x(x+5) = x^2 + 5x$

$\mbox{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$

Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação:

$x^2 - 3x = 0.$

Ela é satisfeita para exatamente dois valores de $x$ , a saber, $x=0$ e $x=3$ .

Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

é uma identidade, mas:

$(x + 1)^2 = 2x^2 + x + 1$

é uma equação cujas soluções são $x = 0$ e $x = 1$ .

Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal $\equiv$ .

Ideia básica para se resolver equações

Há muitas formas de se resolver equações mas a principal ideia, quando as incógnitas são procuradas nos conjuntos dos números inteiros, racionais, reais ou mesmo complexos é o fato que o produto de números só é igual a zero se um dos fatores for igual a zero.

Assim, para se resolver a equação $3x^2 = 6x$ , o método mais simples e eficiente é escrever:

$3x^2 = 6x$ é equivalente a $3x^2 - 6x = 0$ , que, por sua vez, pode ser escrito na forma

$3x(x-2) = 0$ . Como o produto só pode ser 0 se um dos fatores for igual a 0, concluímos que ou

$3x = 0$ ou $x-2=0$ .

Logo, as soluções da equação são $x=0$ ou $x=2$ .

O mesmo método pode ser aplicado a equações mais difíceis, com a mesma eficiência. Portanto, para se saber resolver equações é importante, antes de mais nada, saber fatorar expressões algébrica

Equações equivalentes

Diz-se que duas equações são equivalentes se elas têm as mesmas raízes (soluções).Por exemplo, considere as equações:

$x^2 -2x = 0$
$x-2 = 0$
$5x-10 = 0$

A equação (i) admite as soluções reais $x=0$ e $x=2$ . As equações (ii) e (iii) admitem apenas a solução real $x=2$ . Assim sendo, as equações (i) e (ii) não são equivalentes, enquanto que as equações (ii) e (iii) são equivalentes. Escrevemos

$x-2 = 0 \iff 5x - 10 = 0$ .

Nem sempre é fácil encontrar as soluções (todas) de uma equação dada. O método de resolução mais elementar é a troca da equação dada por outra equivalente que seja mais simples.

Como transformar uma equação em outra equivalente

Dada uma equação, as seguintes operações podem ser efetuadas sem que se modifique o conjunto-solução:

somar um mesmo número real em cada lado da igualdade.
multiplicar cada lado da igualdade por uma mesma constante não nula.

Vejamos um exemplo. Dada a equação

$3x+5 = \frac{34}{5}$

podemos somar -5 a ambos os lados da igualdade e obter:

$(3x+5) + (-5) = \frac{34}{5} + (-5)$

Usando propriedades da adição, obtemos

$3x+(5-5) = \frac{34-25}{5}$

ou, equivalentemente,

$3x = \frac{9}{5}$

Vamos agora dividir cada lado da igualdade por 3 (isto é, multiplicar por $\frac{1}{3}$ ) e chegar à solução procurada:

$x = \frac{3}{5}$

Observe que a ordem com que efetuamos as operações é indiferente: Poderíamos ter começado multiplicando os dois lados da equação por 5:

$3x+5 = \frac{34}{5} \iff 5(3x+5) = 5 \cdot \frac{34}{5} \iff 15x+25 = 34$

Subtraindo 25 de cada lado, obtemos outra equação ainda equivalente à primeira:

$15x+25 - 25 = 34-25 \iff 15x = 9$

Finalmente, dividimos cada lado por 15:

$x = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Há outras transformações que podem ser feitas, mas que exigem um conhecimento mais profundo de funções e seus efeitos. Dada uma equação, pode-se aplicar uma função a ambos os lados, mas precisamos tomar cuidado pois o conjunto-solução pode ser alterado. Um exemplo simples é o seguinte. A equação

$x^2 + 2x + 1 = 9$

pode ser vista como

$(x+1)^2 = 9$

que tem soluções $x+1 = 3$ ou $x+1 = -3$ , ou seja, $x = 2$ ou $x = -4$ .

Poderíamos também aplicar a função raiz quadrada a ambos os lados da equação $(x+1)^2 = 9$ :

$\sqrt{(x+1)^2} = \sqrt{9}$

que equivale a

$|x+1| = 3$

ou, seja, $x+1 = 3$ ou $x+1 = -3$ .

Uma situação que exige mais cuidado é quando, para resolvermos uma equação algébrica, elevamos cada lado da equação ao quadrado. Ao fazermos isso, perdemos a informação sobre o sinal (positivo ou negativo) de cada membro da equação e, por isso, iremos obter outra equação, que não é equivalente à original: ela terá mais soluções. Logo, quando usamos essa técnica temos que, no final, voltar à equação original e verificar quais soluções da equação modificada são também soluções da equação original. Vejamos um exemplo: é dada a equação

$\sqrt{x+2} = x$